« God does not care about our mathematical difficulties. He integrates empirically. » — Albert Einstein

5.1 Intégrabilité au sens de Riemann

Dans toute cette section, on va étudier l'intégrale dans le contexte où f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} est bornée (et a<ba < b).

5.1.1 Subdivisions et sommes de Darboux

Une subdivision de [a,b][a,b] est un sous-ensemble fini σ={x0,x1,…,xn}\sigma = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} tel que:

a=x0<x1<…<xn−1<xn=ba = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b

On note Δa,b\Delta_{a,b} l'ensemble de toutes les subdivisions de [a,b][a,b]. Soit σ∈Δa,b\sigma \in \Delta_{a,b}:

Soit f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} bornée. On prend mj:=inf⁡Ijfm_j := \inf \limits_{I_j} f et Mj:=sup⁡IjfM_j := \sup \limits_{I_j} f.

Définition 5.2: Sommes de Darboux

On appelle les sommes de Darboux inférieure et supérieure de ff à σ\sigma:

S−(f;σ)=∑j=1nmjδjS+(f;σ)=∑j=1nMjδjS_{-}(f;\sigma) = \sum\limits_{j = 1}^n m_j \delta_j \qquad S_{+}(f;\sigma) = \sum\limits_{j = 1}^n M_j \delta_j

Si σ,σ′∈Δa,b\sigma, \sigma' \in \Delta_{a,b} satisfont σ⊂σ′\sigma \subset \sigma', alors on dit que σ′\sigma' est un raffinement de σ\sigma.

Lemme 5.3

Soient σ,σ′∈Δa,b\sigma, \sigma' \in \Delta_{a,b}. Alors S−(f;σ)≤S+(f;σ′)S_{-}(f;\sigma) \leq S_{+}(f;\sigma').

5.1.2 Définition de l'intégrale et critères d'intégrabilité

On définit:

S−(f):=sup⁡{S−(f;σ)∣σ∈Δa,b}S+(f):=inf⁡{S+(f;σ)∣σ∈Δa,b}S_{-}(f) := \sup \{S_{-}(f;\sigma) \mid \sigma \in \Delta_{a,b} \} \qquad S_{+}(f) := \inf \{S_{+}(f;\sigma) \mid \sigma \in \Delta_{a,b} \}

Définition 5.4: Intégrale de Riemann (par les sommes de Darboux)

Soient a<ba < b deux réels. On dit que f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} bornée est intégrable sur [a,b][a,b] (au sens de Riemann) si S−(f)=S+(f)S_{-}(f) = S_{+}(f). Dans ce cas, on écrit:

∫abf(x)dx:=S−(f)=S+(f)\int_a^b f(x) dx := S_{-}(f) = S_{+}(f)

Cette quantité est appelée l'intégrale (de Riemann) de ff sur [a,b][a,b].

Lemme 5.6: Premier critère d'intégrabilité

Soit f:[a,b]→Rf:[a,b] \to \mathbb{R} bornée. Alors ff est intégrable sur [a,b][a,b] si et seulement si:

∀ϵ>0,∃σ∈Δa,b,S+(f;σ)−S−(f;σ)<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \sigma \in \Delta_{a,b}, S_{+}(f;\sigma) - S_{-}(f;\sigma) < \epsilon

Lemme 5.10: Second critère d'intégrabilité

Notons Δa,b,δ:={σ∈Δa,b∣δ(σ)≤δ}\Delta_{a, b, \delta} := \{ \sigma \in \Delta_{a,b} \mid \delta(\sigma) \leq \delta \}

Soit f:[a,b]→Rf:[a,b] \to \mathbb{R} bornée. Alors ff est intégrable sur [a,b][a,b] si et seulement si:

∀ϵ>0,∃δ>0,∀σ∈Δa,b,δ,S+(f;σ)−S−(f;σ)<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \sigma \in \Delta_{a, b, \delta}, S_{+}(f;\sigma) - S_{-}(f;\sigma) < \epsilon

5.2 Propriétés de l'intégrale

On définit ξ:={ξ1,…,ξn}⊂R\bm{\xi} := \{ \xi_1, \ldots, \xi_n \} \subset \mathbb{R} tel que ξj∈Ij\xi_j \in I_j pour chaque j∈⟦1,n⟧j \in \llbracket 1, n \rrbracket.

Théorème 5.11: Intégrale de Riemann

Soit ff une fonction intégrable sur [a,b][a,b], (δn)∈(R+∗)N(\delta_n) \in (\mathbb{R}_{+}^{*})^\mathbb{N} telle que lim⁡n→∞δn=0\lim\limits_{n \to \infty} \delta_n = 0 et (σn)∈Δa,b,δn(\sigma_n) \in \Delta_{a, b, \delta_n}. Alors:

lim⁡n→∞R(f;σn;ξn)=∫abf\lim\limits_{n \to \infty} R(f;\sigma_n;\bm{\xi}_n) = \int_a^b f

Pour tout choix ξn\bm{\xi}_n compatible avec σn\sigma_n.

Théorème 5.12: Opérations sur les intégrales

Soient ff et gg deux fonctions bornées et intégrables sur [a,b][a,b] et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Alors:

f+g,f⋅g,fg,λf,∣f∣f + g, \qquad f \cdot g, \qquad \frac{f}{g}, \qquad \lambda f, \qquad |f|

sont intégrables sur [a,b][a,b] (dans le cas de fg\frac{f}{g}, on suppose que inf⁡[a,b]∣g∣>0\inf_{[a,b]} |g| > 0).

Proposition 5.13: Linéarité

Soient a<ba < b dans R\mathbb{R} et f,g:[a,b]→Rf, g:[a,b] \to \mathbb{R} intégrables sur [a,b][a,b]. Alors, ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}:

∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g

Proposition 5.14: Monotonicité

Soient f,g:[a,b]→Rf, g:[a,b] \to \mathbb{R} intégrables sur [a,b][a,b]. Si ∀x∈[a,b],f(x)≤g(x)\forall x \in [a,b], f(x) \leq g(x), alors:

∫abf≤∫abg\int_a^b f \leq \int_a^b g

Proposition 5.15: Additivité (relation de Chasles)

Soient a<c<ba < c < b dans R\mathbb{R}. Soit ff intégrable sur [a,c][a,c] et [c,b][c,b].

Alors ff est intégrable sur tout [a,b][a,b] et:

∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f