20V13 — 20W07

• 4. CALCUL DIFFERENTIEL

« And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities? » — The Analyst by George Berkeley

4.1 Dérivée d'une fonction

Définition 4.1

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non-vide.

• Une fonction $f: I \to \mathbb{R}$ est dérivable en $x_0 \in I$ de dérivée $f'(x_0)$ si la limite $f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{{x}-x_0}$ existe.
• $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en chaque point de $I$.
• On note $\mathscr{D}^1(I)$ l'ensemble des fonctions une fois dérivables sur $I$.
• La dérivée de $f \in \mathscr{D}^1(I)$ est la fonction $f' : I \to \mathbb{R}, x \mapsto f'(x)$.

Exemple 4.3: $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto |x|$ n'est pas dérivable en 0. Par conséquent, continuité n'implique pas dérivabilité.

---

Proposition 4.5

$f$ dérivable en $x_0 \Rightarrow f$ continue en $x_0$.

---

Proposition 4.6

$f$ dérivable en $x_0 \Leftrightarrow f$ différentiable en $x_0$:

$\exists a \in \mathbb{R}, \exists r:I \to \mathbb{R} \mid \forall x \in I, f(x) = f(x_0) + a(x-x_0) + r(x)(x-x_0)$

Avec $\lim\limits_{x \to x_0} r(x) = r(x_0) = 0$

---

4.2 Propriétés des dérivées

Proposition 4.8: Sommes et produits de dérivées

Soient $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non-vide, $x_0 \in I$ et $f, g:I \to \mathbb{R}$ dérivables en $x_0$.

• $f + g$ dérivable en $x_0$ et $(f+g)'(x_0) = (f' + g')(x_0)$
• $f \cdot g$ dérivable en $x_0$ et $(f \cdot g)'(x_0) = (f'g + fg')(x_0)$
• Si $g(x_0) \neq 0$, $\frac{f}{g}$ dérivable en $x_0$ et $( \frac{f}{g})'(x_0) = ( \frac{f'g-fg'}{{g}^2})(x_0)$

---

Proposition 4.10: Composition de dérivées

Soient $I, J \subset \mathbb{R}$ des intervalles ouverts non-vides, $f:I \to J$ dérivable en $x_0 \in I$ et $g:J \to \mathbb{R}$ dérivable en $y_0 := f(x_0) \in J$.

Alors, $g \circ f: I \to \mathbb{R}$ est dérivable en $x_0$ et

$(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)$

---

Proposition 4.11: Dérivée de la réciproque

Soient $I, J \subset \mathbb{R}$ des intervalles ouverts non-vides, $f:I \to J$ continue, bijective et dérivable en $x_0 \in I$ avec $f'(x_0) \neq 0$.

Alors, $f^{-1}:J \to I$ est dérivable en $y_0 := f(x_0)$.

$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{{f}'(f^{-1}(y_0))}$

---

4.3 Accroissements et dérivées

Définition 4.14: Maximum / minimum local

Soient $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non-vide, $x_0 \in I$ et $f:I \to \mathbb{R}$.

• $x_0$ est un maximum local de $f$ si $\exists \delta > 0$ tel que $\forall x \in I, |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) \leq f(x_0)$
• De manière analogue pour le minimum local.
• On appelle extremum local un $x_0$ qui est minimum ou maximum local.

---

Proposition 4.15

Soient $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non-vide, et $f:I \to \mathbb{R}$ dérivable en $x_0 \in I$ tel que $x_0$ est un extremum local de $f$. Alors:

$f'(x_0) = 0$

---

Définition 4.16: Point critique

Un point critique (ou point stationnaire) de la fonction $f$ est un point $x$ où $f'(x) = 0$.

---

Proposition 4.17: Théorème de Rolle

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ et $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$ telle que $f(a) = f(b)$.

Alors $\exists c \in (a, b)$ tel que:

$f'(c) = 0$

---

Théorème 4.19: Théorème des accroissements finis

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ et $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$.

Alors $\exists c \in (a, b)$ tel que:

$f'(c) = \frac{{f(b)-f(a)}}{{b}-a}$

---

Corollaire 4.20

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ et $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$.

• $f$ est croissante sur $[a,b] \Leftrightarrow \forall x \in (a,b), f'(x) \geq 0$.
• Si $\forall x \in (a,b), f'(x) > 0$, alors $f$ est strictemenmt croissante sur $[a,b]$.
• Similairement pour décroissante et strictement décroissante.
• $f$ est constante sur $[a,b] \Leftrightarrow \forall x \in (a,b), f'(x) = 0$.

---

Corollaire 4.22

Soient $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert, $f:I \to \mathbb{R}$ et $x_0 \in I$. On suppose $f$ continue en $x_0$ et dérivable sur $I \setminus \{x_0\}$.

Si $\lim\limits_{x \to x_0} f'(x)$ existe, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} f'(x)$.

---

4.4 Dérivées d'ordres supérieurs

Définition 4.23

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non-vide. La fonction $f: I \to \mathbb{R}$ est dite $n$ fois dérivable si $f'$ est $n-1$ fois dérivable.

La dérivée d'ordre $n$ est notée $f^{(n)}$.

---

Définition 4.24

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non-vide.

• L'ensemble des fonctions $f: I \to \mathbb{R}$ $n$ fois dérivables est noté $\mathscr{D}^n(I)$.
• L'ensemble des fonctions $f \in \mathscr{D}^n(I)$ telles que $f^{(n)} \in \mathscr{C}^0(I)$ est noté $\mathscr{C}^n(I)$. Une fonction $f \in \mathscr{C}^n(I)$ est dite de classe $\mathscr{C}^n$.
• Une fonction $f \in \mathscr{C}^{\infty}(I) := \bigcap_{n \geq 1} \mathscr{C}^n(I)$ est dite infiniment dérivable.

---

Théorème 4.27: Taylor-Lagrange

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert et $a < b$ dans $I$. Soit $n \in \mathbb{N}$ et $f: I \to \mathbb{R}$ telle que:

• $f$ est de classe $\mathscr{C}^n$ sur $I$
• $f^{(n)}$ est dérivable sur $(a,b)$

Alors, $\exists c \in (a,b)$ tel que:

$f(b) - f(a) = \sum\limits_{k=1}^n \frac{{f^{(k)}(a)}}{{k}!}(b-a)^k + \frac{{f^{(n+1)}(c)}}{{}(n+1)!}(b-a)^{n+1}$

On définit aussi le polynôme de Taylor d'ordre $n$ de $f$ en $x_0$ par:

$T_nf(x;x_0) := \sum\limits_{k=0}^n \frac{{f^{(k)}(x_0)}}{{k}!}(x-x_0)^k$

---

4.5 Comparaison asymptotique

4.5.1 La notation de Landau

Soient $E \subset \mathbb{R}$, $f, g : E \to \mathbb{R}$ et $x_0$ un point limite de $E$.

Petit o.

On suppose que $f$ ne s'annule pas au voisinage de $x_0$. On note $g = o_{x \to x0}(f)$ si:

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{{g(x)}}{{f}(x)} = 0$

---

Grand O.

On note $g = O_{x \to x_0}(f)$ s'il existe $\delta > 0$ et $C \in \mathbb{R}$ tels que:

$|x-x_0| < \delta \Rightarrow |g(x)| \leq C|f(x)|$

---

Équivalence asymptotique.

On note $g \sim_{x \to x_0} f$ si:

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{{f(x)}}{{g}(x)} = 1$

---

4.5.2 Formule de Taylor-Young et formes indéterminées.

Proposition 4.34: Formule de Taylor-Young.

Soient $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert, $f \in \mathscr{C}^n(I)$ et $x_0 \in I$. Alors lorsque $x$ tend vers $x_0$:

$f(x) = T_nf(x;x_0) + o((x-x_0)^n)$

---

4.6 Extrema locaux

Proposition 4.36

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert non vide et $f \in \mathscr{C}^n(I)$.

Soit $x_0 \in I$ tel que $f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ et $f^{(n)} \neq 0$.

• (i) Si $n$ est impair, alors $x_0$ n'est pas un extremum local.
• (ii) Si $n$ est pair et $f^{(n)}(x_0) > 0$, alors $x_0$ est un minimum local strict de $f$.
• (iii) Si $n$ est pair et $f^{(n)}(x_0) < 0$, alors $x_0$ est un maximum local strict de $f$.

---