« There is more danger of numerical sequences continued indefinitely than of trees growing up to heaven. Each will some time reach its greatest height. » — Gottlob Frege

3.1 Limite d'une fonction en un point

Soit E⊂RE \subset \mathbb{R}. On appelle x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} un point limite de EE si:

∀ϵ>0,∃x∈E,0<∣x−x0∣<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists x \in E, 0 < | x - x_0 | < \epsilon

Définition 3.1

Soit l∈Rl \in \mathbb{R}, E⊂RE \subset \mathbb{R} et x0x_0 un point limite de EE. Une fonction f:E→Rf:E \to \mathbb{R} tend vers ll en x0x_0 si:

∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈E,[0<∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−l∣<ϵ]\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in E, [0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon]

Dans ce cas, on écrira lim⁡x→x0f(x)=l\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l.

Proposition 3.4

Soit l∈Rl \in \mathbb{R}, E⊂RE \subset \mathbb{R}, f:E→Rf:E \to \mathbb{R} et x0x_0 un point limite de EE. Les deux assertions sont équivalentes:

3.2 Convergence à l'infini et divergence vers l'infini

Définition 3.8: Convergence à l'infini

Soit EE tel que [m,+∞)⊂E[m, +\infty) \subset E pour un m∈Rm \in \mathbb{R}. (On a une demi-droite continue à partir d'un certain mm).

Soit f:E→Rf:E \to \mathbb{R} et l∈Rl \in \mathbb{R}.

On dit que ff converge vers ll en +∞+\infty si

∀ϵ>0,∃N∈R,∀x∈E,[x>N⇒∣f(x)−l∣<ϵ]\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{R}, \forall x \in E, [x > N \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon]

Dans ce cas, on écrit lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l.

De manière analogue pour la convergence vers −∞-\infty.

Dans les deux cas, on dit que la droite y=ly = l est une asymptote horizontale au graphe de ff.

Définition 3.9: Divergence vers l'infini

Soit f:E→Rf: E \to \mathbb{R} et x0x_0 un point limite de EE.

On dit que ff tend vers +∞+\infty en x0x_0 si

∀M,∃δ,∀x∈E,[0<∣x−x0∣<δ⇒f(x)>M]\forall M, \exists \delta, \forall x \in E, [0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > M]

Dans ce cas, on écrit lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty.

De manière analogue pour la divergence vers −∞-\infty

Dans les deux cas, on dit que la droite x=x0x = x_0 est une asymptote verticale au graphe de ff.

Définition 3.11: Divergence en l'infini

Soit EE tel que [m,+∞)⊂E[m, +\infty) \subset E pour un m∈Rm \in \mathbb{R}.

On dit que ff tend vers +∞+\infty en +∞+\infty si

∀M,∃N>0,∀x∈E,[x>N⇒f(x)>M]\forall M, \exists N > 0, \forall x \in E, [x > N \Rightarrow f(x) > M]

Dans ce cas, on écrit lim⁡x∈+∞=+∞\lim\limits_{x \in +\infty} = +\infty.

De manière analogue pour −∞-\infty.

3.3 Continuité

Définition 3.13: Continuité de ff

Soit f:E→Rf:E \to \mathbb{R} et x0∈Ex_0 \in E. ff est continue en x0x_0 si ff tend vers f(x0)f(x_0) en x0x_0, explicitement

∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈E,[∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ϵ]\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in E, [|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon]

Si ff n'est pas continue en x0x_0, on dit qu'elle est discontinue en x0x_0.

Si ff est continue en chaque x0∈Ex_0 \in E, on dit simplement qu'elle est continue sur EE.

L'ensemble des fonctions continues sur E est noté C0(E)\mathscr{C}^0(E)

Remarque 3.16: Lien avec les suites

Il suit de la Proposition 3.4 que f est continue en x0x_0 si et seulement si f(un)→f(x0)f(u_n) \to f(x_0) pour toute suite (un)(u_n) convergeant vers x0x_0.

En particulier, si ff est continue en x0x_0 et si (un)(u_n) converge vers x0x_0, alors

lim⁡n→∞f(un)=f(lim⁡n→∞un)\lim\limits_{n \to \infty} f(u_n) = f(\lim\limits_{n \to \infty} u_n)

Proposition 3.19: Sommes et produits de fonctions continues

Soient ff et gg deux fonctions de EE dans R\mathbb{R}, continues en x0x_0. Alors f+gf+g, f⋅gf \cdot g et f/gf/g (si g(x0)≠0g(x_0) \neq 0) sont continues en x0x_0.

Exemple 3.20: En particulier, les fonctions polynomiales sont continues ∀x0∈R\forall x_0 \in \mathbb{R}. Aussi, les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.

Proposition 3.21: Composition de fonctions continues

Soient f:E→Ff:E \to F et g:F→Rg:F \to \mathbb{R}, avec E,F⊂RE, F \subset \mathbb{R}, et soit x0∈Ex_0 \in E.

Si ff est continue en x0x_0 et gg est continue en f(x0)f(x_0), alors g∘fg \circ f est continue en x0x_0.

Par conséquent, si ff et gg sont continues, alors g∘fg \circ f est continue.

3.4 Maximum et minimum d'une fonction continue

On s'intéresse ici aux fonctions continues sur un intervalle EE compact (donc de la forme [a,b][a, b]).

Définition 3.23: Majorée / minorée et maximum / minimum

La fonction ff est majorée si l'ensemble {f(x)∣x∈E}\{ f(x) \mid x \in E\} est majoré. (De manière analogue pour minoré.)

Si une fonction ff est à la fois majorée et minorée, elle est dite bornée.

La fonction ff atteint son maximum (ou admet un maximum) en x0x_0 si ∀x∈E,f(x)≤f(x0)\forall x \in E, f(x) \leq f(x_0). (De manière analogue pour le minimum.)

Théorème 3.24

Toute fonction f∈C0([a,b])f \in \mathscr{C}^0([a,b]) est bornée et admet un maximum et un minimum.

3.5 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 3.26: TVI

Soit f∈C0([a,b])f \in \mathscr{C}^0([a,b]) telle que f(a)<f(b)f(a) < f(b). Alors:

∀h∈(f(a),f(b)),∃x∈(a,b):f(x)=h\forall h \in (f(a), f(b)), \exists x \in (a, b) : f(x) = h

Corollaire 3.29: Toute fonction polynomiale de degré impair s'annule au moins une fois.

Corollaire 3.30:

Soit f∈C0([a,b])f \in \mathscr{C}^0([a,b]). Alors, f([a,b])f([a,b]) est un intervalle fermé et borné.

3.6 Continuité de la fonction réciproque

Théorème 3.33

Soit I⊂RI \subset \mathbb{R} un intervalle et f:I→Rf:I \to \mathbb{R} une fonction strictement monotone. Alors:

Définition 3.36: Homéomorphisme

Soient E,F⊂RE, F \subset \mathbb{R}.

f:E→Ff: E \to F est un homéomorphisme si elle est continue, bijective et que f−1f^{-1} est continue.

Quand une telle fonction existe, on dit que EE et FF sont homéomorphes.

3.7 Continuité uniforme

Définition 3.37: Continuité uniforme

Soit E⊂RE \subset \mathbb{R}.

f:E→Rf: E \to \mathbb{R} est uniformément continue sur E si:

∀ϵ>0,∃δ>0,∀x,y∈E,[∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ϵ]\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in E, [|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon]

Exemple 3.40: Fonctions k-lipschitziennes

Soit k>0k > 0 et E⊂RE \subset \mathbb{R}.

f:E→Rf: E \to \mathbb{R} est k-lipschitzienne si:

∀x,y∈E,∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣\forall x, y \in E, |f(x) - f(y)| \leq k|x-y|

Si ff est k-lipschitzienne, alors ff est uniformément continue.

Théorème 3.44: Théorème de Heine

Toute fonction f∈C0([a,b])f \in \mathscr{C}^0([a,b]) est uniformément continue.