The Raven's Hideaway

2.1 Limite d'une suite numérique

Définition 2.1: Suite

Une suite numérique est une fonction $u:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ habituellement dénotée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que l'on notera souvent $(u_n)$ .

Définition 2.2: Limite

Soit $(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $l \in \mathbb{R}$ . La suite $(u_n)$ converge vers $l$ si:

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - l| < \epsilon$

Dans ce cas, $l$ est appelé la limite de la suite $(u_n)$ et est noté $l = \lim\limits_{n \to \infty} u_n$ .

Si $l$ n'existe pas, on dit que $(u_n)$ diverge.

Définition 2.7: Majorée, minorée, bornée

Une suite $(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ est majorée s'il existe $K \in \mathbb{R}$ tel que $u_n < K$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
La suite est minorée si $(-u_n)$ est majorée.
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Proposition 2.11: Opérations sur les limites

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes.

(i) La suite $(u_n + v_n)$ est convergente et $\lim\limits_{n}(u_n + v_n) = \lim\limits_{n} u_n + \lim\limits_{n} v_n$ .
(ii) La suite $(u_n \cdot v_n)$ est convergente et $\lim\limits_{n}(u_n \cdot v_n) = \lim\limits_{n} u_n \cdot \lim\limits_{n} v_n$ .
(iii) Si $v_n \neq 0$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n} v_n \neq 0$ , la suite $(u_n/v_n)$ est convergente et $\lim\limits_{n} \frac{{u_n}}{{v}_n} = \frac{{\lim\limits_{n}u_n}}{{}\lim\limits_{n}v_n}$ .
(iv) Si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ suffisamment grand, alors $\lim\limits_{n} u_n \leq \lim\limits_{n} v_n$ .

Théorème 2.15: Des gendarmes

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que:

$u_n \leq v_n \leq w_n$ pour tout $n$ suffisamment grand
$\lim\limits_{n} u_n = \lim\limits_{n} w_n = l$

Alors, $(v_n)$ est convergente et $\lim\limits_{n} v_n = l$

2.2 Convergence monotone

Définition 2.18

Une suite $(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ est dite croissante si $u_n \leq u_{n+1}$ pour tout $n$ .
Elle est décroissante si $u_n \geq u_{n+1}$ pour tout $n$ .

Théorème 2.19

Une suite $(u_n)$ croissante et majorée est convergente, et $\lim\limits_{n} u_n = \sup_n u_n$ .

Théorème 2.23: Des suites adjacentes

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes, c'est-à-dire satisfaisant:

(i) $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante
(ii) $v_n \geq u_n$ pour tout $n$
(iii) $\lim\limits_{n} (v_n - u_n) = 0$

Alors, $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent, et $\lim\limits_{n} u_n = \lim\limits_{n} v_n = \sup_n u_n = \inf_n v_n$ .

2.3 Suites tendant vers l'infini et formes indéterminées

Définition 2.27

Soit $(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ une suite.

$(u_n)$ tend vers $+ \infty$ si $\forall M \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, u_n \geq M$
$(u_n)$ tend vers $- \infty$ si $\forall M \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, u_n \leq M$

2.4 Sous-suites et valeurs d'adhérence

Définition 2.31: Sous-suite

Soit $(u_n)$ une suite. Une sous-suite extraite de $(u_n)$ est une suite de la forme $(u_{\varphi(n)})$ où $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante.

Définition 2.33: Valeur d'adhérence

$a \in \mathbb{R}$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ s'il existe une sous-suite extraite de $(u_n)$ convergeant vers $a$ .

Proposition 2.35

Soient $(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $a \in \mathbb{R}$ . Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes:

(i) $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$
(ii) $\forall \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \geq N, |u_n - a| < \epsilon$

Soit $(u_n)$ bornée. On définit deux suites particulières:

$M_n := \sup \{u_k \mid k \geq n\} \qquad m_n := \inf \{u_k \mid k \geq n\}$

Définition 2.37

Soient $(u_n)$ une suite bornée et $(M_n)$ et $(m_n)$ comme ci-dessus.

La limite supérieure de $(u_n)$ est définie par $\lim \sup_{n \to \infty} u_n := \lim\limits_{n \to \infty} M_n$
La limite inférieure de $(u_n)$ est définie par $\lim \inf_{n \to \infty} u_n := \lim\limits_{n \to \infty} m_n$

Proposition 2.38

Soit $(u_n)$ bornée. Alors, les limites supérieure et inférieure sont des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ . De plus, $\lim \sup_{n} u_n$ (resp. $\lim \inf_{n} u_n$ ) est le maximum (resp. minimum) des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ .

Corollaire 2.40: Théorème de Bolzano-Weierstrass

Toute suite bornée admet une valeur d'adhérence.

2.5 Suites de Cauchy

Définition 2.41

Une suite $(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ est de Cauchy si:

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n, m \geq N, |u_n - u_m| < \epsilon$

Théorème 2.42: Toute suite convergente est de Cauchy

Théorème 2.43: Toute suite de Cauchy converge ( $\mathbb{R}$ est un espace métrique complet)

20U14 — 20X01