The Raven's Hideaway

« If you do enough math, you basically have to learn the entire Greek alphabet. On rare occasions, the Hebrew alphabet. » — some Linear Algebra Professor

Dans ce premier chapitre, nous allons aborder l'algèbre linéaire avec le concept d'espace vectoriel. Il est important de noter qu'un problème linéaire satisfait: si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , alors $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ est aussi une solution.

1.1 Introduction

Notation

On représentera par la suite les vecteurs comme des lettres latines ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , ...) et les scalaires comme des lettres grecques ( $\lambda$ , $\mu$ , ...). On omettra parfois les flèches sur les vecteurs, lorsque le contexte est clair.

Dans tout ce chapitre, on parlera du corps $\mathbb{K}$ qui est en fait le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

1.2 Espace vectoriel

Définition 1.1: Espace vectoriel

Un espace vectoriel $E$ (sur $\mathbb{K}$ ) est un ensemble $E$ avec deux applications (ou fonctions) dites des lois:

$+ : E \times E \to E, (\vec{u}, \vec{v}) \mapsto \vec{u} + \vec{v}$

$\cdot : \mathbb{K} \times E \to E, (\lambda, \vec{u}) \mapsto \lambda \cdot \vec{u}$

Qui vérifient, $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}$ :

(A1: associativité) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
(A2: commutativité) $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
(A3: élément neutre) $\exists \vec{0_E} \in E \mid \vec{u} + 0_E = \vec{u}$
(A4: élément opposé) $\forall \vec{u} \in E, \exists (-\vec{u}) \in E \mid \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0_E}$
(B1: compatibilité) $\lambda \cdot (\mu \cdot \vec{u}) = (\lambda \cdot \mu) \cdot \vec{u}$
(B2: distributivité) $(\lambda + \mu) \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}$
(B3: distributivité) $\lambda \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \cdot \vec{u} + \lambda \cdot \vec{v}$
(B4: élément neutre) $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$
(O: stabilité) $\vec{u} + \vec{v} \in E$ et $\lambda \cdot \vec{u} \in E$

Exemples

$\mathbb{K}^n$ (avec $n \in \mathbb{N}^*$ ) est un espace vectoriel.
$\mathbb{K}_n[x] = \{ p:\mathbb{K} \to \mathbb{K} \mid p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n, a_i \in \mathbb{K}, i = 0, \ldots, n \}$ qui est l'ensemble de tous les polynômes de degré $\leq n$ .

Remarque: L'élément neutre $0_E$ et l'élément opposé $(-\vec{u})$ sont uniques.

Proposition 1.2

Soit $E$ un espace vectoriel. $\forall x, y \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}$ :

(a) $\lambda \cdot 0_E$ et $0 \cdot x = 0_E$
(b) $(-1)x = -x$
(c) $(- \lambda)x = \lambda (-x) = -(\lambda x)$
(d) $\lambda x = 0_E \Leftrightarrow \lambda = 0$ ou $x = 0_E$
(e) $\lambda x = \lambda y \Leftrightarrow \lambda = 0$ ou $x = y$
(f) $\lambda x = \mu x \Leftrightarrow \lambda = \mu$ ou $x = 0_E$

1.3 Sous-espaces vectoriels

Définition 1.3

Soit $E$ un espace vectoriel de $\mathbb{K}$ avec les lois $+$ et $\cdot$ .

Un sous-ensemble $F \subset E$ est dit sous-espace de $E$ si $F$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ avec la restriction des lois $+$ et $\cdot$ à $F$ .

Proposition 1.4

Soit $E$ un espace vectoriel et $F \subset E$ . Alors $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ si:

(a) $F \neq \varnothing$
(b) $\forall x,y \in F \Rightarrow x + y \in F$
(c) $\forall x \in F, \forall \lambda \in \mathbb{K} \Rightarrow \lambda \cdot x \in F$

Définition 1.5

Soient $E$ un espace vectoriel et $v_1, \ldots, v_p \in E$ . On appelle:

$x = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_pv_p$ ( $= \sum\limits_{i = 1}^p \lambda_iv_i$ ) est une combinaison linéaire des $v_1, \ldots, v_p$ .
$Vect(v_1, \ldots, v_p)$ = $\{ \sum\limits_{i = 1}^p \lambda_iv_i \mid \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K} \}$ est l'ensemble engendré par $v_1, \ldots, v_p$ .

Proposition 1.6

Soient $E$ un espace vectoriel et $v_1, \ldots, v_p \in E$ .

Alors, $F = Vect(v_1, \ldots, v_p)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

1.4 Bases

Définition 1.7: Famille génératrice

Soit $E$ un espace vectoriel. Une famille $V$ de vecteurs dans $E$ est dite génératrice pour $E$ si:

$E = Vect(V)$

Une famille de vecteurs est un ensemble ordonné de vecteurs noté $V = \{ v_1, \ldots, v_p \}$ .

Définition 1.8: Dimension

Un espace vectoriel est dit de dimension finie si $\exists V = \{ v_1, \ldots, v_p \}$ une famille génératrice pour laquelle:

$|V| = p < \infty$

Sinon, sa dimension est infinie.

$|V|$ désigne la cardinalité de $V$ , c'est-à-dire le nombre de vecteurs dans $V$ .

Définition 1.9: Familles liées et libres

Soit $V = \{ v_1, \ldots, v_p \}$ une famille de vecteurs de l'espace vectoriel $E$ .

$V$ est dite liée si $\exists \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K}$ dont au moins un est différent de zéro tel que $\sum\limits_{i=1}^p \lambda_iv_i = 0_E$ .
$V$ est dite libre si $\exists \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K} \mid \sum\limits_{i=1}^p \lambda_iv_i = 0_E \Rightarrow \lambda_1 = \ldots = \lambda_p = 0$

Proposition 1.11

Soit $V = \{ v_1, \ldots, v_p \}$ libre. Soit $x \in Vect(V)$ . Alors, la décomposition de $x$ sur les vecteurs dans $V$ est unique.

Proposition 1.12: Base

Une famille de vecteurs est une base d'un espace vectoriel $E$ si elle est libre et génératrice pour $E$ .

Propositions 1.13 & 1.14

$\mathscr{B} = \{ v_1, \ldots, v_p \}$ est une base $E$ si:

$\exists! (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n \mid x = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n$

Proposition 1.15

Soit $V = \{ v_1, \ldots, v_p \}$ une famille de vecteurs dans l'espace vectoriel $E$ .

(a) $E = Vect(V) \Rightarrow E = Vect(V \cup \{ w \})$ où $w = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_iv_i$
(b) $V$ est liée $\Rightarrow V \cup \{ w \}$ est liée $\forall w \in E$
(c) $v_i = 0_E \Rightarrow V$ est liée
(d) $V$ est libre $\Rightarrow V \setminus \{ v_p \}$ est libre

20W02 — 20W06